色々なサイトで解決方法として下記の事を書いているんだけど書いてある内容だけで完全な解決にならなかったので一応メモを書いておく。
他のページに書かれている内容
localeを日本語にしていてもfcitx + mozcが最初から入っていない問題の解決
$ sudo apt install fcitx-mozc
日本語フォントが入っていない問題の解決
$ sudo apt install fonts-ipafont fonts-ipaexfont fonts-takao fonts-vlgothic
そもそも日本語の環境が出来ていない場合の解決
$ sudo apt install language-pack-ja
大抵はこれをやってサービスの再起動かログオフログインすれば使えるとか書いているが少なくとも手元の環境ではもう１ステップ必要だった。Lubuntu使うの初めてで設定やUI分かっていなかったのでまぁあえて書く話ではないのかもしれないが
追加でやる必要があるかもしれない内容
右下にキーボードのアイコンがあるので右クリックをしてConfigureを選択 
おそらくはControl+Spaceや半角キーで日本語を入力できない場合はこのように日本語のキーボードが一つしかない状態のはず。
なので左下の＋ボタンを押して手作業で追加をしてやる必要がある
ここでポイントはLocaleの設定次第ではリストにmozcが出てこないので"Only show Current Language"を必要に応じて外してMozcを探すこと。個人的に日本語LocaleでLinuxを使うとコンソールとかから突くときに色々問題が起きたりして好きじゃないので英語でインストールをしたのでここでハマったのかなと思います。
最終的にこういう風になればok。これでCtl+Spaceでこの２つの切り替えが行われる様になるはず
以上でおそらくは日本語が入力できるようになったはず。
さて、次は音がスピーカーから鳴らない（でも何故かイヤホン端子からは鳴る）問題かな
